Text preview for : CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA.pdf part of Circuito de Corrente alternada eletronica Os elementos essenciais de circuitos de corrente alternada (c.a.) são os Geradores de c.a. e elementos
passivos e lineares que são uma combinação de Resistores, Capacitores ou Indutores em série ou em
paralelo. Alguns circuitos poderão ter ainda transformadores, mas excluiremos os casos em que os
transformadores exibam histerese ou saturação, já que esses seriam elementos não lineares; igualmente
excluiremos outros elementos como diodos (que são não-lineares) e amplificadores a transistores (que não
são passivos).
Back to : CIRCUITOS DE CORRENTE ALT | Home
Circuitos de Corrente Alternada
Notas de Física Experimental
Prof. Hugo L. Fragnito
Unicamp IFGW
Campinas, Setembro de 2000
Conteúdo
1. CONCEITOS BÁSICOS ...............................................................................................................................1 1.1 A linha de alimentação ............................................................................................................ 2 1.2 Voltagem e corrente reais ........................................................................................................ 3 VOLTAGEM E CORRENTE COMPLEXAS ....................................................................................................7 IMPEDÂNCIA COMPLEXA .........................................................................................................................9 3.1 Equivalente Thévenin..............................................................................................................11 3.2 Impedância interna de geradores e instrumentos de medição...................................................12 3.3 Potência média .......................................................................................................................16 FILTROS ................................................................................................................................................19 4.1 Função de transferência e Transmitância................................................................................19 CIRCUITOS RESSONANTES .....................................................................................................................23 5.1 Ressonância série ...................................................................................................................23 5.2 Ressonância paralelo..............................................................................................................24 5.3 Filtros ressonantes..................................................................................................................26 RESISTORES, CAPACITORES E INDUTORES REAIS...................................................................................29 6.1 Resistores ...............................................................................................................................29 6.2 Indutores ................................................................................................................................31 6.3 Capacitores ............................................................................................................................33 6.4 Ressonâncias espúrias ............................................................................................................33 CIRCUITOS DE C.A. COM GERADOR DE FUNÇÃO ARBITRÁRIA ................................................................35 7.1 Circuito integrador.................................................................................................................38 7.2 Circuito diferenciador ............................................................................................................40 TRANSIENTES NO CIRCUITO RESSONANTE SÉRIE ...................................................................................43 8.1 Estudos avançados..................................................................................................................46 TRANSFORMADORES .............................................................................................................................51 9.1 Generalidades ........................................................................................................................51 9.2 Transformador ideal ...............................................................................................................52 9.3 Alguns Tipos de Transformadores ...........................................................................................53 9.4 Impedância refletida ...............................................................................................................54 9.5 Transformador real ................................................................................................................54
2. 3.
4. 5.
6.
7.
8. 9.
10. LINHAS DE TRANSMISSÃO .....................................................................................................................57 10.1 Impedância característica...................................................................................................57 10.2 Impedância Característica de um Cabo Coaxial..................................................................59 10.3 Coeficiente de Reflexão ......................................................................................................59 10.4 Propagação de ondas em linhas de transmissão..................................................................61 10.5 Atenuação ..........................................................................................................................61 APÊNDICES...............................................................................................................................................65 EXPERIMENTOS......................................................................................................................................77
C:\WINDOWS\Desktop\Hugo\CURSOS\ac\Livro.doc
Impresso em 18-10-00
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Conceitos básicos
1
1.
Conceitos básicos
Os elementos essenciais de circuitos de corrente alternada (c.a.) são os Geradores de c.a. e elementos passivos e lineares que são uma combinação de Resistores, Capacitores ou Indutores em série ou em paralelo. Alguns circuitos poderão ter ainda transformadores, mas excluiremos os casos em que os transformadores exibam histerese ou saturação, já que esses seriam elementos não lineares; igualmente excluiremos outros elementos como diodos (que são não-lineares) e amplificadores a transistores (que não são passivos). A Figura 1.1 mostra dois circuitos de corrente alternada simples. O da Figura 1.1(a) é um circuito de uma malha, o da Figura 1.1(b) é de duas malhas.
a
R
b
Z1
Z2
(t)
I(t)
L
(t)
i1(t)
Z3
i2(t)
C
Figura 1.1. Exemplos de circuitos de corrente alternada. Z1, Z2 e Z3 indicam elementos como resistores, capacitores ou indutores.
Um Gerador de c.a. gera uma voltagem senoidal (t) que em geral é caracterizada pela frequência angular , a amplitude 0 (também chamada valor pico ou de crista) e a fase inicial 0: (t) = 0 cos(t + 0). [1.1]
Para que a amplitude e a fase sejam univocamente definidas, impomos que a amplitude seja positiva e que a fase esteja entre - e .
Exercício 1.1: Escreva as funções abaixo na forma da eq. 1 com 0 positivo e - < 0 : 1. 2.
(t) = -100V cos(t) (t) = 10V sin(t)
[Resposta: 100V cos(t + )] [Resposta: 10V cos(t - /2)]
Muitos osciloscópios modernos possuem recursos para medir automaticamente a amplitude pico-apico pp = 20 e o período T = 2/ ou a frequência f = 1/T. Outros instrumentos, como voltímetros de c.a. e multímetros, medem o valor eficaz pp = 0 / 2. Assim, por exemplo, 110 Volts eficazes correspondem a uma amplitude de 155.6 V e uma amplitude pico-a-pico de 311 V. O aluno pode medir a voltagem de linha com um multímetro. A maioria dos osciloscópios medem até 80 V. Para medir voltagens maiores que 80 V se utilizam pontas de prova atenuadoras, mas mesmo com uma ponta atenuadora o/a aluno/a nunca deve intentar medir a voltagem de linha com um osciloscópio (leia primeiro a seção 1.1 sobre a linha de alimentação).
2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
1.1
A linha de alimentação
Antes de fazer experimentos é importante que o/a aluno/a tenha conhecimentos básicos do que há por trás de uma tomada de alimentação elétrica. Vou discutir aqui a linha de alimentação dos laboratórios de ensino do Instituto de Física da Unicamp, que é uma linha de 127 V. O professor de outra região deve adaptar esta discussão para o caso da sua sala de aula. A energia elétrica é produzida em alguma usina hidroelétrica, nuclear o de outro tipo, geralmente muito remota. A energia é transportada através de linhas de transmissão de muito alta voltagem (centenas de quilovolts, pudendo chegar até megavolts). A razão disto é obvia: a perda nos cabos é proporcional ao quadrado da corrente e à resistência do cabo e, para uma dada potência de consumo, diminuir a corrente significa aumentar a voltagem. Estas linhas terminam em alguma estação distribuidora, onde a voltagem é reduzida para algo entorno de algumas dezenas de quilovolts e alimenta redes locais, do tamanho de uma cidade. Subestações distribuidoras reduzem a voltagem ainda mais (3 a 11 kV) e alimentam redes menores, do tamanho de bairros ou de um campus universitário. Transformadores espalhados no bairro reduzem a alta voltagem para alimentar com a tensão de linha (entre 110 e 220 V eficazes) prédios individuais ou um conjunto de poucas casas. Destes transformadores saem geralmente dois ou três fios "vivos" e um fio de retorno ou "neutro" que é geralmente aterrado perto do transformador. "Aterrado" significa exatamente isto: o fio neutro é ligado a uma lança condutora que está enterrada a alguns metros de profundidade na terra, onde a condutividade é alta. Os fios "vivos" são também chamados "fases". Em alguns casos (Estados Unidos, por exemplo) há duas fases de 110 V eficazes e a diferença de potencial entre elas é de 220 V. Assim, uma casa pode ter 110 V para as tomadas e 220 V para alguns eletrodomésticos que consomem muito, tais como chuveiro elétrico, fogão elétrico, lavadoras, etc. (lembre sempre que a corrente deve ser baixa, menor que 40 A; caso contrário haverá que instalar fios mais grossos). Em outros casos (Campinas, por exemplo) há duas ou três fases de 127 V, com uma diferença de fase entre elas de 120º. A diferença de potencial entre dois fios vivos quaisquer é novamente 220 V. Na Europa e alguns países Latino-americanos (Argentina, por exemplo) o vivo é de 220 V e a diferença entre dois vivos (que estão defasados em 120º) é de 381 V. Isto barateia o custo das instalações das redes elétricas pois os fios são mais finos do que em países com linhas de 110 V, mas encarece as instalações dentro das casas pois é necessário um melhor isolamento e mais cuidados com a segurança. Outra diferença é que a frequência de linha nos países com 220 V é de 50 Hz e nos países com 110 V é de 60 Hz. No Brasil a voltagem de linha depende da cidade e até da casa! Por exemplo, em Brasília uma casa pode estar ligada em 220 V e outra em 110 V (independentemente da ideologia política do proprietário, não tem lógica mesmo!). Em Campinas é 127 V/ 60 Hz. Note que a voltagem pico-a-pico de uma linha de 127 V é de 359 V. Nas viagens é bom perguntar qual é a tensão de linha local antes de ligar o seu secador de cabelos ou o barbeador elétrico. E antes de comprar um aparelho motorizado na Europa, verifique se este não tem um motor síncrono, que funciona em sincronismo com a frequência da linha (50 Hz na Europa, mas 60 Hz no Brasil). Nos laboratórios existe outra lança aterrada, bem perto do prédio, ligada a um fio chamado "terra" ou terra de segurança. A voltagem do "neutro" em relação ao "terra" depende da corrente (ou seja, do consumo) e da resistência do fio neutro até o ponto onde ele está aterrado, e não deve ser maior que uns 5 a 10 V (mesmo assim, o fio neutro não deve ser tocado!). Normalmente não passa corrente pelo fio terra. Na tomada do laboratório temos então (Figura 1.2) um vivo, um neutro e um terra. O gabinete metálico de todo instrumento, eletrodoméstico ou computador deve estar conectado ao terra, de modo que possa ser tocado com segurança.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Conceitos básicos
3
Prédio de laboratórios Linha de alta tensão vivos 2 3 caixa de distribuição tomada Tomada (detalhe) terra vivo neutro terra
transformador
1
neutro
Terra
Figura 1.2. Esquema da linha de alimentação elétrica do laboratório. Várias tomadas são alimentadas por cada fase. No detalhe, uma tomada com ponto de terra. Uma convenção é que o neutro deve ficar à direita do vivo e o terra embaixo. Outra convenção é que o fio vivo deve ser preto (cor da morte) o neutro branco e o terra verde. (Estas convenções não são muito respeitadas no Brasil).
Alguns instrumentos (como voltímetros, eletrômetros e alguns tipos de fontes) podem ter entrada ou saída flutuante, que significa que nenhum dos contatos de entrada ou saída está ligado à terra. Este não é o caso dos osciloscópios, que sempre medem em relação a terra; por isso, nunca ligue a entrada do osciloscópio à linha (você poderá estar ligando o terra do osciloscópio ao vivo ou ao neutro, mas você saberá se ligou ao vivo só depois de ouvir a explosão!). Se não suporta a curiosidade e quiser mesmo ver a forma de onda da linha, faça o seguinte na presença do professor: utilize uma ponta de prova atenuadora de pelo menos 10× (verifique que a impedância da ponta de prova é alta, maior que 1 M) e não ligue o terra da ponta de prova (geralmente um conector tipo jacaré) a nenhum dos pontos da tomada. Assim pelo menos você poderá medir as voltagens (em relação ao terra do osciloscópio) de cada ponto da tomada e descobrir qual é o vivo e qual o neutro. Se quiser medir a diferença de potencial entre vivo e neutro, você deve utilizar um osciloscópio de dois canais e subtrair os sinais no osciloscópio. Faça o seguinte na presença do professor: utilize um osciloscópio de pelo menos dois canais que tenha modo de soma (ADD) e de inversão (INVERT); utilize também duas pontas de prova (não ligue os terras das pontas), uma em cada canal do osciloscópio; ligue uma ponta (Channel 1) no vivo e a outra (Channel 2) no neutro, e faça a subtração no osciloscópio (ou seja, INVERT Channel 2 e coloque o modo vertical em ADD. Se não entendeu é porque ainda não deve intenta-lo). Note que sempre que for medir voltagens de linha deverá utilizar pontas de prova atenuadoras para que a senóide caiba na tela do osciloscópio (onde geralmente cabem 80 volts). Se a tensão eficaz é de 127 V, a voltagem pico-a-pico é 359.2 Volts!
1.2
Voltagem e corrente reais
Nos circuitos de c.a. alimentados por um único gerador ideal as correntes reais que passam pelos diferentes elementos são senoidais. A corrente real i(t) que passa por um dado elemento de um circuito está relacionada com a diferença de potencial (ou voltagem) nesse elemento v(t). Tanto i(t) como v(t) são funções do tempo com a mesma forma que a eq. 1.1, cada um com sua amplitude e fase, mas com a
4
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
mesma frequência. Sem perda de generalidade podemos escolher a origem dos tempos de modo que a fase inicial da corrente seja nula: i(t) = I0 cos(t) v(t) = V0 cos(t + ), onde é a diferença de fase entre a voltagem e a corrente. Note que a fase de uma senóide sozinha não tem muito sentido físico. É sempre possível escolher a origem dos tempos de modo de fazer ela zero. Por outro lado, a diferença de fase entre duas senóides não depende dessa escolha. A Figura 1.3 mostra duas senóides na tela de um osciloscópio para ilustrar como se mede a diferença de fase. A corrente pode ser medida com osciloscópio medindo a voltagem sobre qualquer resistor do circuito, que é proporcional a corrente. Cuidado porém porque o osciloscópio somente mede em relação ao terra e, portanto, o resistor (ao qual ligamos o osciloscópio para medir a corrente) deve estar aterrado.
cursores V1 V2
3.76 m s
[1.2] [1.3]
t = 3.76 ms
3.76 m s
.2V
20mV
2s
m
.1V
10mV
2s
m
t T
Figura 1.3. Medida da diferença de fase entre duas senóides (V1 e V2) com um osciloscópio de dois canais. Tela da esquerda: Primeiramente medimos o período, que neste exemplo é T = 8.6 ms. A seguir medimos a diferença de tempo t em que as senóides cruzam, subindo (ou descendo), a linha horizontal de V = 0. Neste exemplo, t = 3.76 ms (alguns osciloscópios, como o ilustrado aqui, dispõem de cursores verticais para medir diferenças de tempo, a leitura é indicada no canto superior direito da tela). Finalmente, a fase é dada por = 2t/T = 2.75 rad ou = 360t/T = 157º. Tela da direita: Para diminuir a incerteza da medida, podemos expandir a escala vertical (duas vezes neste exemplo) de modo que apenas a região central das senóides é mostrada no osciloscópio. Na região central as senóides são aproximadamente retas e os pontos de cruzamento com o eixo V = 0 são mais evidentes (expandindo ainda mais a escala vertical, a retas viram quase verticais e a incerteza é a mínima possível).
Vejamos qual é a relação entre voltagem e corrente nos três elementos básicos: resistor, capacitor e indutor. Em um resistor vale sempre a lei de Ohm v(t) = Ri(t), onde R é a resistência e, no caso de corrente alternada (isto é, com i(t) na forma da eq. 1.1) obtemos [1.4]
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Conceitos básicos
5
v(t) = RI0 cos(t). Em um indutor a relação geral entre v e i é v( t ) = Ldi / dt , onde L é a indutância (henry, H). No caso de corrente alternada, v( t ) = -LI 0 sin(t ) = LI0 cos3t + 8 . 2 Finalmente, em um capacitor a voltagem é proporcional à carga no capacitor, q: v = q/C, onde C é a capacitância (farad, F) e, dado que i = dq/dt, a relação geral entre v e i é v( t ) =
[1.5]
[1.6]
[1.7]
[1.8]
I
t
0
i( t )dt / C + v( 0) ,
[1.9]
onde v(0) é a voltagem no capacitor em t = 0. No caso de corrente alternada, v( t ) = I I0 sin( t ) = 0 cos3t - 8 . 2 C C Amplitude V0 = RI0 V0 = I0/C V0 = LI0 Fase [1.10]
A Tabela 1-I resume o que acabamos de falar. Elemento Resistor Capacitor Indutor Voltagem real v = Ri v = q/C v = Ldi/dt
=0 = -/2 = /2
Tabela 1-I. Relação entre a voltagem e corrente reais em elementos de circuito de corrente alternada.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Voltagem e corrente complexas
7
2.
Voltagem e corrente complexas
A relação entre voltagem e corrente reais em um circuito de uma malha contendo resistores, capacitores e indutores é em geral uma equação integro-diferencial de primeira ordem ou uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Por exemplo, no circuito RLC série (Figura 1.1a) esta equação é Ri + L di q + = dt C [2.1]
(que contém a integral da incógnita, i(t), dado que q( t ) = R
I
t
0
i( t ) dt + q( 0) ), ou [2.2]
di d 2i i d . +L 2 + = dt C dt dt
Em circuitos com N malhas teremos N equações diferenciais ordinárias de segunda ordem acopladas. Para resolver este tipo de equações que aparecem frequentemente em circuitos de corrente alternada utilizaremos o formalismo de impedância complexa. Apesar do nome, este formalismo não tem nada de "complexo", muito pelo contrário, como veremos, simplifica muito os problemas de circuitos de corrente alternada, já que as equações diferenciais se transformam em equações não diferenciais. As equações de malha do tipo da 2.1 e 2.2 podem ser escritas como a parte real de uma equação entre números complexos. Utilizamos para isto a fórmula de Euler (vide Apêndice A) e jx = cos x + j sin x , onde j = -1 e introduzimos a voltagem e corrente complexas1,2,3 V ( t ) = V0 e j ( t + ) I ( t ) = I0 e jt de modo que as voltagens e correntes reais, v(t) e i(t), podem ser recuperadas através das relações v( t ) = Re{V ( t )} = Re{V0 e j ( t + )} = V0 cos ( t + ) i( t ) = Re{I ( t )} = Re{I0 e jt } = I 0 cos (t ) [2.4]
[2.3]
O símbolo Re{ } indica a parte real do número complexo dentro de { }. Trabalhar com correntes e voltagens complexas tem a vantagem de que as equações diferenciais que descrevem os circuitos de c.a. se transformam facilmente em equações ordinárias. Para isto basta substituir
R.P. Feynman, R.B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2: Mainly Electromagnetism and Matter, Addison-Wesley, Reading, 1964. 2 H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica, Vol 3: Eletromagnetismo, Edgar Blücher, São Paulo, 1997.
3
1
F.N.H. Robinson, Electricity, in The New Encyclopædia Britannica (Macropædia Knowledge in Depth), Vol. 6, pp 537-610, 15th Ed., H. Hemingway Benton, Publisher (London, 1974).
8
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
d j dt
,
d2 ( j )2 = - 2 2 dt
,
d3 ( j )3 = - j 3 3 dt
, etc.
Por exemplo, a equação diferencial 2.11 vira a equação ordinária (não diferencial) jRI - 2 LI + I / C = jV , onde V = 0 e j ( t + o ) . Resolvendo para I obtemos I = jV / ( jR - 2 L + 1 / C ) . Para obter a corrente real basta tomar a parte real de I:
i( t ) = Re{I ( t )} = = 0 + tan
-1 2
0 (R )2 + ( 2 L - 1 / LC )2
cos (t + ),
L - 1 / LC . R
A Figura 2.1 mostra a representação da voltagem e corrente no plano complexo. A corrente e a voltagem são vetores que rodam com velocidade angular mantendo o ângulo fixo. Em qualquer instante de tempo os valores reais de corrente ou voltagem podem ser determinados pela projeção do vetor correspondente sobre o eixo real.
eixo imaginário
a)
b)
V
V I
V0
I I0
eixo real
t
v(t) i(t)
Figura 2.1. Voltagem e Corrente no plano complexo em (a) t = 0 e (b) t 0. Exercício 2.1. Um prédio é alimentado com três fios vivos de 127 V (eficazes) e fases 1, 2 e 3. A diferença de fase entre dois vivos quaisquer é de ±120º. Represente as três voltagens no plano complexo e mostre que a diferença de potencial entre dois vivos quaisquer é V cost, onde V = 311.1 Volts (pico) ou 220 Volts eficazes.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Impedância complexa
9
3.
Impedância complexa
A voltagem entre os terminais de um resistor, indutor ou capacitor pode ser escrita na forma complexa V = ZI , onde, nos casos de resistor, capacitor e indutor, respectivamente, temos Z=R Z = j L = L e j 2 1 1 - j 2 = Z= e j C C [3.2] [3.1]
Trabalhar com o formalismo de impedâncias complexas tem a enorme vantagem de que podemos aplicar quase tudo que aprendemos da teoria de circuitos de corrente contínua. Por exemplo, a associação de elementos em série ou em paralelo se tratam com as mesmas relações que se utilizam para resistores em circuitos de corrente contínua e as leis de Kirchoff se aplicam diretamente para as correntes e voltagens complexas em cada nó ou cada malha. Devemos ter presente apenas duas coisas: 1- O formalismo de impedância complexa é útil para tratar relações lineares (como, por exemplo uma equação de malha) mas não para relações não lineares, como a potência (que é uma função quadrática da corrente). 2- Este formalismo pode ser aplicado diretamente a circuitos com geradores de onda realmente senoidais (e não, por exemplo, se o gerador é de onda quadrada). Para correntes de forma arbitrária devemos utilizar, em princípio, as voltagens e correntes reais. Esta condição e menos restritiva que a primeira. Como veremos na seção 7, se o circuito é linear então vale o princípio de superposição e ainda podemos aplicar o formalismo de impedância complexa, mas combinado com séries de Fourier para expressar as voltagens como soma de funções senoidais. Do mesmo modo que uma combinação de resistores em série e em paralelo pode ser representada por um único resistor equivalente, um circuito contendo uma combinação arbitrária de resistores, indutores e capacitores pode ser representado por uma impedância total Z.
eixo imaginário
Z |Z| X
eixo real
Figura 3.1. Representação da impedância no plano complexo. Z é um ponto neste plano.
10
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
Em geral podemos escrever Z na forma cartesiana ou polar (Figura 3.1): Z = + jX =|Z| e j: Impedância complexa, [3.3]
onde = Re{Z} é a parte real da impedância complexa; X = Im{Z}, a parte imaginária de Z é chamada Reatância; |Z| é o módulo de Z (as vezes também chamada de impedância) e é a fase de Z. Para passar da forma cartesiana à polar podemos utilizar as relações | Z| = 2 + X 2 e = tan -1 ( X / ) . [3.5] [3.4]
Podemos ver que coincide com a diferença de fase entre a voltagem sobre Z e a corrente, sejam estas complexas (como na eq. 3.1) ou reais (como na eq. 2.2). Se X > 0 dizemos que a reatância é do tipo indutiva e se X < 0 dizemos que a reatância é capacitiva. Mostraremos na seção 5 que em circuitos passivos é sempre 0. A parte real da impedância pode ser uma função da frequência (veja Exercício 4.1). A recíproca da impedância complexa é chamada de admitância complexa e é denotada com o símbolo Y: Y = 1/Z = G + jB : Admitância complexa [3.6]
A parte imaginária, B, é chamada Susceptância, e a parte real, G, é chamada Condutância.4 Esta última deve ser positiva (ou nula) em circuitos passivos. A impedância equivalente de duas associadas em série é simplesmente a soma das impedâncias. A admitância equivalente de duas impedâncias associadas em paralelo é a soma das admitâncias (Tabela 3-I). A demonstração destas afirmações é idêntica ao caso de resistores e corrente contínua e vamos deixa-la como exercício para o aluno. É comum abreviar a impedância de uma associação em paralelo como Z1 // Z2 = Z1Z2 /(Z1 + Z2). Às vezes podemos até achar abreviações como R // C, L // C, R // L. O significado é obvio. [3.7]
4
A unidade de admitância, condutância e susceptância é o Siemen (1 S = 1 -1). Antigamente se utilizava o "mho", que não é um "mili-ho" mas apenas a palavra "ohm" escrita ao contrário.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Impedância complexa
11
Associação em série Z = Z1 + Z2
Associação em paralelo 1/Z = 1/Z1 + 1/Z2 (Y = Y1 + Y2)
Z1
Z1 Z2
Z2
Tabela 3-I. Associação de impedâncias complexas em série e em paralelo.
3.1
Equivalente Thévenin
O teorema de Thévenin que o aluno já conhece de circuitos de corrente contínua é válido também para corrente alternada e é formalmente idêntico ao caso de circuitos de corrente contínua mas com impedâncias, voltagens e correntes complexas: todo circuito contendo geradores e uma combinação de impedâncias pode ser visto, entre dois pontos quaisquer A e B, como uma "caixa preta" ou "equivalente Thévenin", contendo um gerador eq e uma impedância em série Zeq, onde eq = VAB é a voltagem de circuito aberto (isto é, sem ligar em nenhum instrumento de medição) e Zeq = VAB /Icc, onde Icc é a corrente de curto-circuito. Como no caso de corrente contínua, Zeq pode ser obtida também como a impedância que teríamos entre A e B fazendo um curto-circuito em todos os geradores do circuito.
a)
Z1
b) ·A
Z2
Z1
c) ·A
Z2 Zeq
·A
(t)
(t)
Icc
eq(t)
·B
·B
·B
Figura 3.2. Um circuito de corrente alternada (a) e seu equivalente Thévenin (c). O circuito intermediário (b) serve para calcular a corrente de curto-circuito Icc.
A Figura 3.2 mostra um exemplo de circuito e seu equivalente Thévenin entre os pontos A e B. Neste exemplo, a voltagem entre os pontos A e B vale V AB = eq = e a impedância equivalente é Zeq = Z2 // Z1 = Z1 Z2 /( Z1 + Z2). A impedância equivalente também pode ser calculada achando primeiro a corrente de curto-circuito (Figura 3.2-b), Z2 , Z1 + Z2
12
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
Icc = /Z1, e depois utilizando Zeq = VAB /Icc.
3.2
Impedância interna de geradores e instrumentos de medição
No laboratório devemos sempre ter presente que os geradores e instrumentos de medição têm impedância interna. Em todos os casos, antes de utilizar um instrumento pela primeira vez, o aluno deve ler o Manual do usuário do instrumento e entender as especificações do fabricante, ou consultar o professor. Nem sempre o professor sabe o significado de todas as especificações técnicas de um instrumento (principalmente dos sofisticados instrumentos modernos), mas isto não deve desanimar o aluno; se o professor não sabe algum detalhe, provavelmente é um detalhe não muito relevante. Os geradores de alta potência (incluindo a linha de alimentação) têm baixa impedância interna (|Zint| < 5 ) e em geral complexa. Os geradores de funções para instrumentação tem uma impedância interna geralmente de 50 , real e independente da frequência (variação dentro de ±1 em toda a faixa de frequências de operação do instrumento, tipicamente). Em medidas de voltagem é sempre necessário que o módulo da impedância interna |Zint| do instrumento de medição seja muito maior que o da impedância do circuito. Caso contrário dizemos que o instrumento "carrega o circuito" e a voltagem medida não reflete fielmente a voltagem no circuito sem estar ligado ao instrumento. Se ligamos o instrumento a um elemento de impedância Z, pode parecer a primeira vista que a condição para não carregar o circuito é |Zint| >> |Z|. Isto porém não é correto em geral. Entre os pontos em que ligamos o instrumento, todo circuito tem um equivalente Thévenin e a impedância que verá o instrumento será Zeq, não Z. Portanto, a condição para que o instrumento não carregue o circuito é que |Zint| >> |Zeq| . O aluno deve ter muito cuidado pois neste ponto os circuitos de corrente alternada são diferentes dos circuitos de corrente contínua. Por exemplo, se medimos voltagens com um osciloscópio de Zint = 1 M sobre um resistor de 47 em um circuito de corrente contínua não precisamos preocuparmos com o resto do circuito, já que "o resto" está em paralelo com este resistor e a resistência equivalente será sempre menor ou igual que os 47 . Por outro lado, um indutor L = 50 mH a uma frequência = 950 rad/s, tem uma impedância de módulo |Z| = 47.5 , mas se este estiver em paralelo com um capacitor C = 22 µF, então |Zeq| = 655 k que é comparável ao módulo |Zint| do osciloscópio. Em circuitos de corrente alternada não é verdade que a impedância de dois elementos em paralelo seja menor, em módulo, que a de cada elemento. Isto é verdade, porém, se um dos elementos é um resistor (vide Exercício 3.2). Finalmente, sobre este assunto, o fato de ser |Zint| >> |Zeq| garante apenas que a amplitude da voltagem será medida fielmente, mas não necessariamente a fase.
3.2.1 Impedância interna de voltímetros
Muitos voltímetros de c.a. de agulha são na realidade galvanômetros de D'Arsonval em série com uma resistência (para transforma-lo em voltímetro) e um retificador (para transformar c.a. em corrente contínua); a impedância depende da escala e se especifica em k/V (por exemplo, 10 k/V significa que na escala de 3 volts de fundo de escala a impedância interna é de 30 k). Estes instrumentos são utilizados para frequências baixas (< 1 kHz) pois a impedância interna depende muito da frequência. A leitura é diretamente em volts eficazes mas é precisa somente se a forma de onda for senoidal. Outro tipo de instrumento bastante utilizado é o voltímetro eletrônico de precisão, que pode ter impedância interna
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Impedância complexa
13
de 100 M e pode medir volts eficazes de formas de onda arbitrárias (em alguns modelos), mas ainda de baixa frequência.
3.2.2 Impedância interna de osciloscópios
O instrumento mais utilizado para medir voltagens em circuitos de c.a. é o osciloscópio. 5 Os osciloscópios têm uma impedância interna geralmente Rint = 1 M e uma capacitância parasita em paralelo Cint de uns 20 pF (em osciloscópios de alta frequência, > 100 MHz, os valores típicos são Rint = 50 e Cint = 7 pF). Para poder medir sinais alternos pequenos com um nível de corrente contínua grande, os osciloscópios possuem um recurso que é bloquear o nível contínuo. Este recurso chama-se "acoplamento ac" (ac = alternate current) e consiste em intercalar, na entrada, um capacitor em série Cs relativamente grande (10 a 15 nF). O acoplamento ac não deve ser utilizado em medidas precisas. O modo normal de operação de um osciloscópio é com acoplamento dc.6 Vamos comentar sobre alguns cuidados que devem ser observados no modo normal.
ac dc
Cs
Osciloscópio
Rint
Cint
Figura 3.3. Impedância interna de um osciloscópio. O osciloscópio mede sempre a voltagem que aparece sobre Rint. No modo de acoplamento dc o sinal a medir é aplicado diretamente sobre Rint, mas há sempre um capacitor em paralelo Cint. No acoplamento ac o sinal a medir passa primeiro por um capacitor em série, Cs, que bloqueia frequências baixas (< 10 Hz).
No modo de acoplamento dc (Figura 3.3) a impedância interna depende da frequência: Zint = Rint // Cint = Rint /(1 + jRintCint) e cai em valor absoluto de 1 M ( = 0) a menos de 500 k para frequências > 7.96 kHz (isto para um osciloscópio com Rint = 1 M e Cint = 20 pF). Além disso, para medir precisamos ligar o osciloscópio ao circuito teste através de algum cabo. Este cabo faz parte do instrumento e devemos incluir a sua capacitância Cc.7 A capacitância do cabo ligado à entrada do osciloscópio está em paralelo com Cint (Figura 3.3) e é geralmente maior (a capacitância do cabo coaxial normalmente utilizado em instrumentação, o RG-58U, é de uns 100 pF por cada metro de cabo). A impedância interna do instrumento (osciloscópio + cabo) é Zint = Rint //(Cc + Cint). Com 1 metro de cabo coaxial, esta impedância interna do osciloscópio cai de 1 M a frequência zero para menos de 500 k a frequências acima de 1 kHz, aproximadamente.
5
Para uma introdução ao princípios http://www.if.ufrj.br/teaching/oscilo/intro.html .
de
funcionamento
do
osciloscópio
visite
o
site
6
dc é abreviatura de direct current. Em português é utilizado cc (corrente contínua), mas se confunde com "curtocircuito" e "complexo conjugado". Nestas notas utilizaremos as abreviaturas ac e dc.
7
Em princípio, devemos considerar também a indutância do cabo Lc; mas na imensa maioria dos casos esta indutância é tão pequena (por exemplo, uns 250 nH por metro para o cabo RG-58U) que não afeta medidas para frequências de até 10 MHz.
14
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
3.2.3 Osciloscópio com ponta de prova
A presença de capacitância na impedância interna do instrumento faz que a voltagem medida dependa da frequência. Portanto, a forma de onda mostrada na tela do osciloscópio é deformada (no caso de um sinal não senoidal) e imprecisa (ou seja, de amplitude diferente daquela que teríamos se o circuito não estivesse ligado ao osciloscópio). Se utiliza então uma ponta de prova que consiste de um cabo de 1 a 2 metros com um resistor de precisão R e um capacitor variável C em paralelo com R. Ajustando o valor de C podemos conseguir que a forma de onda no osciloscópio seja pouco distorcida. Os osciloscópios sérios têm um gerador interno que é uma onda quadrada de 1 kHz de alta precisão. Para o ajuste, ligamos a ponta de prova na saída do sinal de calibração e variamos C até que a forma de onda observada seja quadrada (Figura 3.2-c). Uma ponta de prova ajustada deste modo é chamada uma "ponta compensada". Se a ponta de prova não está devidamente ajustada, a onda quadrada aparecerá deformada, como nos traços da Figura 3.2-a e -b. O sinal na entrada do osciloscópio é idêntico ao sinal visto pela ponta de prova compensada e atenuado por um fator 1 + R/Rint que não depende da frequência (Exercício 3.3). Porém, isto não significa que o sinal visto pela ponta seja igual ao que queremos medir (ou seja, o sinal que temos no circuito sem estar ligado ao osciloscópio). Para isto é necessário sempre que o módulo da impedância do instrumento incluindo o cabo ou a ponta de prova (Zint = R//C + Rint//(Cc + Cint)) seja muito maior que a do circuito (Exercício 3.4).
C Cc 1M Osciloscópio 20 pF
(a) (b)
R
(c)
Figura 3.4. Ponta de prova atenuadora ligada a um osciloscópio. Na prática a capacitância parasita do osciloscópio varia de um instrumento a outro. C então é um capacitor variável e se ajusta para dar um fator de atenuação independente da frequência. Este procedimento se chama "compensação".
A ponta de prova também facilita medidas em baixa frequência com acoplamento ac como, por exemplo, quando queremos medir o "ripple" de uma fonte de corrente contínua. Se Rint = 1 M, uma ponta de prova de 10× tem um resistor R = 9 M. No acoplamento de entrada ac, os sinais lentos são fortemente deformados. A frequência de corte (seção 6) sem ponta de prova é de 10 Hz tipicamente, mas com a ponta de prova de 10× a frequência de corte cai para 1 Hz. Os osciloscópios podem medir até frequências especificadas pela largura de banda dele, geralmente escrita no painel. Valores típicos para osciloscópios de 1 M são 10 ou 20 MHz, podendo chegar a 100 MHz nos modelos mais caros. Osciloscópios de 50 podem chegar até uns 50 GHz. Uma pergunta natural que muitos alunos se fazem é a seguinte: se o osciloscópio do laboratório de ensino (que geralmente têm 1 M // 20 pF) atenua sinais de frequências acima de uns 8 kHz, como é que a largura de banda do osciloscópio é muito maior? A resposta é que a largura de banda é determinada pelo amplificador da entrada vertical, que vem logo após a impedância de entrada. Qualquer sinal elétrico que aparecer na entrada do amplificador vertical será amplificado sem deformação até a frequência especificada pela largura de banda. Note bem que isto não significa que esse sinal de entrada seja igual ao que há no circuito que queremos medir. É responsabilidade do operador garantir que isto aconteça: para isto ele deve se assegurar de que a impedância equivalente do circuito teste vista desde a ponta do cabo (ou da ponta de prova) seja |Zeq| << |Zint| para todas as frequências dentro da largura de banda do osciloscópio. Por exemplo, se medimos sobre um capacitor de 1 µF (e não estiver em paralelo com um indutor), então a capacitância do cabo e a interna do osciloscópio são irrelevantes já que 1 µF em paralelo com 100 ou 200 pF continua sendo 1 µF. Neste caso a voltagem medida pelo osciloscópio é igual à do
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Impedância complexa
15
capacitor a qualquer frequência alta (exceto talvez a frequência 0 ou muito baixa se o capacitor estiver em série com um resistor de valor > 1 M).
Exercício 3.1: Mostre que a impedância equivalente de um resistor R em paralelo com um indutor L é Z = ( R 2 L2 + jLR 2 ) / ( R 2 + 2 L2 ) . Este é um exemplo onde depende de . Exercício 3.2: A resistência equivalente de dois resistores em paralelo é sempre menor que cada uma das resistências: R1//R2 < R1 e R1//R2 < R2. No caso de impedâncias complexas o módulo de Z1//Z2 não sempre é menor que o módulo de Z1 ou de Z2. Por exemplo, um indutor e um capacitor em paralelo tem uma impedância cujo módulo, L/|2LC 1|, pode ser muito maior que L ou maior que 1/C, ou maior que ambas, dependendo do valor . Não obstante isso, se uma das impedâncias é um resistor R, então mostre que |R//Z| min{R, |Z|}, onde o igual acontece só se uma das impedâncias é nula. (Nota: na demonstração é necessário usar o fato que a parte real de qualquer impedância é sempre 0. Este fato será provado na seção 3.3). Exercício 3.3: (resolvido) Compensação da ponta de prova de osciloscópios: A impedância de entrada de um osciloscópio é de 1 M e têm uma capacitância parasita de 20 pF. Uma ponta de prova que atenua por um fator 10 vezes é ligado a este osciloscópio através de um cabo coaxial de capacitância Cc = 250 pF. O circuito da ponta de prova é mostrado na Figura 3.4. Quanto devem ser R e C para que atenue por um fator 10 independentemente da frequência? Solução: Suponhamos que queremos medir uma voltagem a uma frequência e amplitude Ve. A voltagem medida pelo osciloscópio é a voltagem Vo sobre a sua resistência interna Ro = 1 M, e queremos que seja Vo = Ve /10 independentemente de . Para simplificar o problema notemos que a capacitância do cabo está em paralelo com a capacitância interna do osciloscópio de modo que podemos esquematizar o circuito como na Figura 3.5, onde substituímos o cabo e o capacitor parasita do osciloscópio por um único capacitor de capacitância Co = Cc + 20 pF = 270 pF.
C
Z1 Vo 1M 20 pF + Cc
Ve
R
=
Ve
Z2
Vo
Figura 3.5. Esquema simplificado do circuito da Figura 3.4. O problema agora é o de um divisor de tensão, ou seja,
Vo = Z2Ve / ( Z1 + Z2 ) .
com impedâncias Z1 e Z2 dadas por
Z1 =
R / jC R = R + 1 / jC 1 + jRC Ro / jCo Ro = Z2 = Ro + 1 / jCo 1 + jRoCo
Em geral, o fator de atenuação deste divisor,
Z1 + Z2 Z R(1 + jRC ) , = 1+ 1 = 1+ Z2 Z2 Ro (1 + jRoCo )
depende de ; mas se RC = RoCo então esse fator não depende de e vale
( Z1 + Z2 ) / Z2 = 1 + R / Ro = 10 .
Substituindo pelo valor de Ro obtemos R = 9 M. O valor de C que satisfaz a condição RC = RoCo é então C = (1 M)×(270 pF) /(9 M) = 30 pF.
16
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
Exercício 3.4 - Influência da impedância interna do osciloscópio em medidas de voltagem: Com ilustrado na Figura 3.3, a impedância de entrada de um osciloscópio é formada por um resistor R0 de 1 M em paralelo com um capacitor C0 de 20 pF. Este osciloscópio é utilizado para medir a voltagem de saída de um gerador com impedância interna de Zint = 50 (real e independente da frequência) através de um cabo coaxial RG-58 (100 pF/m) de 30 cm. Para baixas frequências o osciloscópio mede corretamente a fem, já que R0 >> Zint (se diz que o instrumento de medição "não carrega" o gerador), porém, a medida que aumentamos a frequência acima de uns poucos kHz a impedância interna do osciloscópio começa a cair devido a C0 (1/C0 = R0 para f = 7.96 kHz). A precisão de um osciloscópio é tipicamente de ±1%. Até que frequência a voltagem medida no osciloscópio é igual à fem do gerador dentro de um erro de 1 %? Quanto se (no lugar do cabo de 30 cm) utilizarmos um ponta de prova (devidamente compensada) de 10×? [Resposta: 80 kHz sem, 800 kHz com ponta de prova].
3.3
Potência média
A potência instantânea dissipada em um circuito elétrico é sempre dada por Pinst ( t ) = v( t )i( t ) [3.8]
e deve ser calculada utilizando as correntes e voltagens reais. No caso de corrente alternada a potência instantânea varia periodicamente com o tempo. A potência média dissipada em um período T = 2/ é
P=
Utilizando os valores eficazes
1 T T 0
I
v( t )i( t )dt = 1 V0 I0 cos . 2
[3.9]
Vef = V0 Ief = I0 obtemos
2 e [3.10] 2,
2 2 P = Vef Ief cos = I ef = GVef .
[3.11]
Na eq. 3.11 escrevemos a potência média dissipada em uma impedância Z de três formas equivalentes e que destacam similaridades e discrepâncias em relação as fórmulas análogas dos circuitos de corrente contínua: A primeira forma na eq. 3.11 se parece com a expressão P = VI do caso contínuo, exceto pelo importante fator cos, também chamado fator de potência. A segunda forma na eq. 3.11 é idêntica à potência dissipada em um resistor P = RI2 no caso contínuo e mostra que a parte real de Z é responsável pela dissipação de potência. A terceira forma na eq. 3.11 mostra uma assimetria em relação ao caso de corrente contínua, onde P = 2 2 2 V /R. No caso de c.a. a potência é GVef (e não Vef / ). A eq. 3.11 nos leva a conclusões gerais ainda mais importantes: Dado que um elemento passivo só pode dissipar potência (i.e., não pode ser P < 0, em cujo caso estaria gerando energia), as duas últimas formas da eq. 3.11 nos mostram que sempre deve ser 0 e G 0. [3.12]
Ou seja, a parte real da impedância e a parte real da admitância de um circuito passivo devem ser sempre positivas (ou nulas). Notemos que indutores e capacitores ideais não dissipam potência (nos dois casos o fator de potência é nulo). A potência é dissipada sempre nos resistores e pode ser calculada como a soma dos valores de
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Impedância complexa
17
2 RIef mas onde Ief é a corrente que passa por cada resistor R. Na prática, tanto capacitores como indutores
possuem resistência interna e portanto dissipam potência. É interessante notar que a máxima transferência de potência de um gerador de c.a. para uma impedância de carga ocorre quando a impedância interna do gerador coincide com o complexo conjugado da impedância de carga. Isto é o análogo do Teorema de máxima transferência de potência da teoria de circuitos de corrente contínua e está demonstrado no Exercício 3.5.
Exercício 3.5 (resolvido): Um gerador de c.a. possui uma impedância interna z e alimenta um circuito com impedância total Z. Mostre que a potência dissipada em Z é máxima se Z = z* (* indica o complexo conjugado) e que neste caso metade da potência total gerada é dissipada no gerador. Este resultado é o análogo do teorema de máxima transferência de potência de circuitos de corrente contínua. Solução: O gerador produz uma f.e.m. mas devido a queda de tensão em z, a tensão aplicada sobre Z é V = zI (Figura 3.6).
z
V
I
Z
Figura 3.6. Gerador com impedância interna alimentando um circuito externo de impedância Z. A corrente no circuito é I = /(z + Z). Portanto, se escrevermos z = r + jx e Z = + jX, a potência dissipada em Z será
2 P = Ief = 2 ef
| z + Z |2
=
2 ef
( r + )2 + ( x + X ) 2
.
Esta expressão é máxima para x = -X e r = , ou seja Z = z* (note que não podemos fazer r = - pois a parte real da impedância de um elemento passivo é sempre positiva ou nula). Neste caso I = /2r, P = Pmax = 2 / 4r , e a potência total fornecida pelo ef gerador vale
2 Ptotal = ef I ef = ef / 2r = 2 Pmax .
Portanto, na condição de máxima transferência de potência, 50% da potência total é dissipada na impedância interna do gerador e 50% no circuito externo.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Filtros
19
4.
Filtros
Os filtros elétricos são muito utilizados em instalações elétricas e equipamentos eletrônicos para rejeitar ruído e para proteger, por exemplo, contra transientes induzidos pela queda de raios durante as tormentas. De modo geral um filtro pode ser representado como um circuito com dois terminais de entrada e dois de saída (Figura 4.1). Ve
Vs
Figura 4.1. Representação geral de um filtro. Na porta de entrada aplicamos uma voltagem Ve e na saída obtemos uma voltagem Vs que depende da frequência.
4.1
Função de transferência e Transmitância
Todo filtro é caracterizado por uma função de transferência (outros nomes empregados são resposta espectral e resposta em frequência) H() definida a seguir: Suponha que ligamos um gerador de frequência variável nos terminais de entrada e medimos a amplitude das voltagens de entrada (|Ve|) e de saída (|Vs|) e a fase relativa () entre Vs e Ve como função da frequência do gerador (). A função de transferência é então
H ( ) =
Vs ( ) Vs ( ) j ( ) . e = Ve ( ) Ve ( )
[4.1]
A função de transferência pode ser definida para frequência zero como o quociente entre as voltagens de corrente contínua. Neste caso um indutor atua como um curto-circuito e um capacitor como um circuito aberto. Como consequência, H(0) é real e a fase (0) só pode ser 0 (H(0) positivo) ou (H(0) negativo). A importância do estudo das propriedades gerais de filtros é que todo circuito pode ser pensado como um filtro no qual a voltagem de entrada é a do gerador () e a de saída é a voltagem sobre um elemento do circuito. Se o gerador não é senoidal ainda podemos escrever (t) como uma superposição de funções harmônicas através da decomposição em série de Fourier (ou através da transformada de Fourier no caso pulsos e sinais não periódicos). A voltagem de saída se obtém multiplicando cada componente de Fourier pela função de transferência calculada na frequência correspondente e somando sobre todas frequências. Na seção 7 mostraremos como isto é feito. Na maioria das situações de interesse prático estamos mais interessados na amplitude e menos na fase. O quadrado do módulo de H, T ( ) = H ( )
2
[4.2]
é denominada Transmitância ou Resposta em potência. Geralmente a transmitância é expressa em decibéis T(dB) = 10 log[ T() ]. Por exemplo, para o filtro RC passa-baixos, (Figura 4.2) [4.3]
20
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
e
1 jC 1 = R + 1 jC 1 + jRC 1 T ( ) = 1 + ( RC )2 H ( ) =
[4.4]
Este filtro possui transmitância máxima Tmax = 1 para = 0 e cai para zero como 1/(RC)2 na medida que . Para = 0 1/RC a transmitância cai à metade do máximo. Este comportamento é mais fácil de se visualizar em um diagrama log-log (também chamado diagrama de Bode8) como o da direita na Figura 4.2. Para << 0 a resposta do filtro é praticamente plana e a transmitância é de 0 dB; para = 0 a transmitância é -3 dB (10 log(½) = -3.0103...) e para >> 0 a transmitância cai a uma taxa de 20 dB/dec (decibéis por década) (10 log[1/(RC)2] = -20 log() + const). 0 é chamada frequência de corte ou de cotovelo e a faixa de frequências entre 0 e 0 é chamada largura de banda do filtro. Note que no diagrama de Bode a dependência com 1/2 em alta frequência é muito mais evidente do que no gráfico em escala linear.
1.00
Frequencia de corte: 0 = 1/RC
0.75
R
T()
0.50
Ve
C
Vs
% G%
Inclinação: -20 dB/dec
)LOWUR 5& SDVVDEDL[RV
'LDJUDPD GH %RGH
0.25
0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RC
ORJ
#
Figura 4.2. Filtro RC passa-baixos e Transmitância como função da frequência em escala linear (esquerda) e logarítmica (direita).
A transmitância de outros tipos de filtros, como o passa-altos e passa-faixa está esquematizada na Figura 4.3. A banda passante de um filtro passa-faixa é definida como o intervalo de frequências onde a transmitância em dB se mantém acima de 3 dB (ou seja, acima de 50 % em uma escala linear) em relação ao máximo.
8
Em memória de Hendrick Bode (1905-1982) pesquisador da Bell Laboratories (USA) e primeiro a utilizar estes diagramas nos anos 1930.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Filtros
21
Tmax
3 dB
3 dB
3 dB
T, dB
f
log( f0)
log( f0)
log( f0)
log(f )
log(f )
log(f )
Figura 4.3. Transmitância de filtros passa-baixos (esquerda) passa-altos (centro) e passa-faixa (direita). O passa-faixa é caracterizado pela frequência central (f0), a largura de banda (f) da faixa passante e as taxas (em dB/dec) de subida (roll-on) e de descida (roll-off). Exercício 4.1 - Filtro passa-altos: Mostre que a função de transferência e a transmitância do filtro da Figura 4.4 estão dadas por H() = 1/(1 j/RC) e T() = 1/[1 + 1/(RC)2]. Este é um filtro RC passa-altos com frequência de corte 0 = 1/RC. A transmitância como função de está representada na Figura 4.4 em escala linear e na forma de um diagrama de Bode. Complete a informação levantando um gráfico da fase de H como função de log(RC).
1.00
G%
0.75
)UHTXrQFLD GH FRUWH
T()
0
RC
T(), dB
C
0.50
Ve
R
Vs
,QFOLQDomR
G%GpFDGD
0.25
Filtro RC passa-altos
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RC
log(RC)
Figura 4.4. Filtro RC passa-altos e sua Transmitância em escala linear (esquerda) e diagrama de Bode (direita). A transmitância é -3 dB (em relação a Tmax = 0 dB) para = 0.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos ressonantes
23
5.
Circuitos ressonantes
Circuitos contendo indutores e capacitores exibem o fenômeno de ressonância. Os circuitos ressonantes mais simples contém apenas um indutor e um capacitor, além de resistores. A ressonância é diferente se o indutor e o capacitor estão ligados em série ou em paralelo. A ressonância é coberta em todos os livros texto e até na Internet9. Vamos rever as propriedades gerais destes circuitos utilizando o formalismo de impedância complexa.
5.1
Ressonância série
A impedância complexa do circuito ressonante série vista pelo gerador (Figura 5.1) é Z = R + j L -
1 C
[5.1]
e a corrente I =V / Z = onde V0 é a amplitude da voltagem do gerador e tan = L - 1 / C . R [5.3] V0 e j ( t - ) R 2 + ( L - 1 / C )2 , [5.2]
C
L
R = 10 (Q = 10)
0 = 150 rad/s 0L = 100
P()
V(t)
I(t)
R
= R/L
R = 20 (Q = 5) R = 100 (Q = 1) R = 200 (Q = 0.5)
(rad/s)
Figura 5.1. Circuito ressonante série e potência transferida por um gerador de Vef = 1 V para vários valores de R.
Para ver uma animação gráfica do circuito RLC série, brincando com os parâmetros do circuito, visite o sítio da Internet http://jersey.uoregon.edu/vlab/ntnujava/rlc/rlc.html.
9
24
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
A potência dissipada no resistor é
2 P = I ef Vef cos = RIef = 1 2
RV02
2
R 2 + 1L - 1 C6
.
[5.4]
A condição de ressonância é = 0 = 1 / LC . Na ressonância série temos que: · · · a impedância é mínima (Z(0) = R), a reatância é nula (L em série com C age como um curto-circuito) (X(0) = 0), a corrente é máxima (I(0) = V0/R) e [5.5]
· a potência transferida ao circuito é máxima. A largura de banda da ressonância é definida como o intervalo de frequência dentro do qual a potência P() é maior ou igual que a metade do valor máximo. Em radianos/s é = R/L. [5.6]
O fator de mérito, Q, do circuito ressonante série caracteriza a acuidade da curva de ressonância (Figura 5.1): Q = 0L/R = 0 / . [5.7]
5.2
Ressonância paralelo
A impedância do circuito ressonante paralelo (ou circuito tanque) visto pelo gerador (Figura 5.2) é Z = R+ LC L = R+ j jL + 1 jC 1 - 2 LC [5.8]
e a corrente I =V / Z =
2
V0e j ( t - ) R + L 41 - LC9
2 2
,
[5.9]
onde é a fase da impedância Z, dada por tan = L R41 - 2 LC9 . [5.10]
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos ressonantes
25
1.0 0.9
Q = 100 Q = 10 Q=5
C P() / P(0)
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1
L V(t) I(t) R
Q=1 Q = 0.5
2 3 4
/0
Figura 5.2. Circuito tanque e potência normalizada para vários valores de Q.
A potência dissipada no resistor é
2 P = I ef Vef cos = RIef = 1 2 2
RV02
2 2
.
[5.11]
R + L 41 - LC9
A condição de ressonância é = 0 = 1 / LC . Na ressonância paralelo temos que: · · · · a impedância é máxima (|Z(0)| = ), a reatância é infinita (age como um circuito aberto) (X(0) = ), a corrente é mínima (I(0) = 0) e a potência transferida ao circuito é mínima (P(0) = 0). [5.12]
Para = 0 ou a potência dissipada no resistor é máxima (e igual a P( 0 ) = 1 V02 / R ). Se = 0 2 toda a corrente passa pelo indutor e, para , passa pelo capacitor. A largura de banda da ressonância é definida como o intervalo de frequência dentro do qual a potência dissipada é menor ou igual que a metade do valor máximo. Em radianos/s é tanque = 1/RC. [5.13]
O fator de mérito, Qtanque, que caracteriza a acuidade da curva de ressonância do circuito tanque (Figura 5.2) é dado por Qtanque = 0 RC = 0 /tanque . Note que Qtanque = 1/Qsérie (Qsérie é o Q dado pela 5.7). [5.14]
26
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos de Corrente Alternada
5.3
Filtros ressonantes
Os circuitos ressonantes são utilizados principalmente como filtros. Filtros ressonantes passa-banda são utilizados, por exemplo, em circuitos de sintonia de rádio e televisão para selecionar uma estação transmissora e rejeitar as frequências dos outros canais vizinhos. Filtros rejeita-banda (também chamados notch filters) são utilizados em instrumentação científica para rejeitar frequências indesejáveis como, por exemplo, a frequência de linha (que sempre se acopla aos circuitos através dos cabos). Um exemplo de filtro rejeita-banda é o circuito tanque (Figura 5.2) com saída no resistor. Para entender rapidamente o que os filtros ressonantes fazem, é útil imaginar que, na frequência de ressonância, o capacitor e indutor em série podem ser substituídos por um fio, ou seja, um curto-circuito, e o capacitor e indutor em paralelo podem ser substituídos por um circuito aberto.
Transmitância, dB
a)
Q = 0.1
0.5
C
L
1
R
100
5 10
/o
Q=5 1 0.5
20 10
b)
Transmitância, dB
0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 0.1 1
L
R
RC (
-20
dB /d
ec)
C RL 0 (-4
C
) ec /d dB
10 100
/0
Figura 5.3. Dois filtros ressonantes série com as suas curvas de transmitância. a) passa-banda; b) passabaixos. Note que o circuito b) é um amplificador de voltagem se Q > 1.
A Figura 5.3 mostra dois filtros ressonantes série com as suas respectivas curvas de transmitância. Quando a saída é no resistor (Figura 5.3a) temos um filtro passa-banda. Longe da ressonância a transmitância cai a 20 dB por década. Quando a saída (Figura 5.3b) é no capacitor temos um filtro passabaixos. Este filtro rejeita melhor as alta frequências do que o filtro RC passa-baixos. Para uma melhor comparação entre os filtros passa-baixos RLC e o RC, na linha tracejada de Figura 5.3b representamos
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Circuitos ressonantes
27
também a transmitância do um filtro RC com a mesma frequência de corte. No filtro RLC a transmitância cai com o logaritmo da frequência a uma taxa de -40 dB/dec, enquanto que no RC a queda é de -20 dB/dec. Note finalmente que no circuito ressonante série, em um faixa estreita de frequências em torno da ressonância e dependendo do valor de Q, a amplitude da voltagem no capacitor ou no indutor pode ser maior que a de entrada. Isto é ilustrado pelo pico de ressonância que aparece na Figura 5.3b no caso Q = 5. Nesse pico a voltagem de saída é maior que a de entrada. De fato, é fácil mostrar que, na ressonância, a voltagem no capacitor é Q vezes maior que a de entrada. Pode parecer a primeira vista que há algo esquisito pois esse circuito é passivo, no entanto apresenta ganho. Não há nenhum princípio físico violado, porém. Circuitos passivos podem ser amplificadores de voltagem, embora não de potência. Na prática, o comportamento de um filtro real se afasta do previsto no modelo com elementos de circuito ideais devido às indutâncias, capacitâncias e resistências parasitas presentes nos elementos e circuitos de c.a. (seção 6)
Exercício 5.1: Mostre que a transmitância do filtro ressonante RLC série com saída no capacitor (Figura 5.3-b) é
T ( ) =
e que na ressonância vale T(0) = Q2.
1 (RC )2 + (1 - 2 LC )2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯
Resistores, capacitores e indutores reais
29
6.
Resistores, capacitores e indutores reais
É praticamente impossível fabricar resistores, capacitores ou indutores ideais. Os resistores sempre tem uma reatância que depende da frequência devido à capacitância e indutância parasitas, inerentes à geometria. Por exemplo, se um resistor é fabricado na forma de um arame enrolado, ele terá uma indutância apreciável. Um indutor tem uma resistência série devida à resistividade do fio (e se tiver núcleo de ferro, terá uma resistência adicional devido às perdas óhmicas das correntes de Foucault) e uma capacitância entre espiras adjacentes. Um capacitor tem uma resistência série devido à resistividade dos metais das placas e uma resistência paralelo devido à condutividade dos dielétricos, etc.. Por outro lado, a resistência depende intrinsecamente da frequência devido a dois efeitos nos condutores; um é que a própria resistividade do material depende da frequência e o outro é o efeito pelicular comentado abaixo. Vemos então que os elementos de um circuito sempre tem impedância complexa, com partes real e imaginária que dependem da geometria e da frequência. Para complicar ainda mais a nossa vida, existem também impedâncias parasitas nos fios e conexões utilizados nos circuitos. Levar em consideração todos os efeitos é teoricamente possível se conhecemos exatamente as geometrias e as propriedades elétricas e magnéticas dos materiais, mas é formidavelmente complicado. É mais viável usar o bom senso e obter estimativas razoáveis dos parâmetros relevantes que podem influir em um dado circuito. Neste curso trabalharemos com frequências de até 10 MHz. Vamos então comentar apenas o comportamento típico de resistores, indutores e capacitores na faixa de frequências de 0 até 10 MHz.10 A Figura 6.1 mostra alguns circuitos equivalentes de capacitores e indutores utilizados geralmente para entender o comportamento destes elementos a baixa e alta frequência. Devido às capacitâncias e indutâncias parasitas, os indutores e capacitores reais apresentam ressonâncias, geralmente em altas frequências (> 10 MHz).
(a)
(b)
(c)
(d)
rs L
cp
rs L rp C
C rs ls
Figura 6.1. Circuitos equivalentes de (a) indutor a baixa frequência, (b) indutor a alta frequência, (c) capacitor a baixa frequência, e (d) capacitor a alta frequência. Exercício 6.1: Escreva a impedância complexa para cada caso da Figura 6.1.
6.1
Resistores
Nas frequências que nos interessam, a maioria dos resistores podem ser considerados ideais, ex